संबंध "congruence modulo m" है | vedclass

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Question

(D) माना $R$ एक संबंध है जिसे $x R y \iff x - y$ को $m$ से विभाजित किया जा सकता है,के रूप में परिभाषित किया गया है।$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x$ के लिए

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एक तुल्यता संबंध

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(D) माना $R$ एक संबंध है जिसे $x R y \iff x - y$ को $m$ से विभाजित किया जा सकता है,के रूप में परिभाषित किया गया है।$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x$ के लिए,$x - x = 0$,जो $m$ से विभाज्य है। अतः,$x R x$ सत्य है। इसलिए,यह स्वतुल्य है।$2$. सममितता: यदि $x R y$ है,तो $x - y = km$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए। तब $y - x = -(km) = (-k)m$,जो भी $m$ से विभाज्य है। अतः,$y R x$ सत्य है। इसलिए,यह सममित है।$3$. संक्रामकता: यदि $x R y$ और $y R z$ है,तो $x - y = k_1 m$ और $y - z = k_2 m$ किन्हीं पूर्णांकों $k_1, k_2$ के लिए। इन्हें जोड़ने पर,$(x - y) + (y - z) = x - z = (k_1 + k_2)m$ प्राप्त होता है। चूँकि $(k_1 + k_2)$ एक पूर्णांक है,इसलिए $x - z$ को $m$ से विभाजित किया जा सकता है। अतः,$x R z$ सत्य है। इसलिए,यह संक्रामक है।चूँकि संबंध स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

संबंध "congruence modulo $m$" है

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